《費馬大定理》是由知名导演西蒙·辛格 执导的一部紀錄片，Andrew Wiles Barry Mazur 等倾情出演，该片讲述了： 本片從證明了費瑪最後定理的安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles開始談起，描述了 Fermat';s Last The orm 的曆史始末，往前回溯來看， 1994 年正是我在念 大學的時候，當時完全沒有一位教 授在課堂上提到這件事，也許他們認爲，一位真正的研究者， 自然而然地會被數 學吸引，然而對一位不 是天才的學生來說，他需要 的是老師的指引，引導他走向更高深的專 業認知，而 指引的道路，就在科普的精 神上。 從費瑪最後定理的曆史中可 以發現，有許多研究成果， 都是研究人員燃燒熱情 ，試圖提出「有趣」的命 題，然後再嘗 試用邏輯 驗證。 費瑪最後定 理：xn+yn=zn 當 n>2 時，不存在整數解 1. 1963年 安 德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles被埃裏克‧坦普爾‧貝爾 Eric Tem ple Bell 的一本書吸引，「最 後問題 The Last Problem」，故事從這裏開始。 2. 畢達哥拉斯 Pythagoras 定理，任一個直角三角形，斜邊的平方=另外兩邊的平方和 x2+y2=z2 畢達哥拉斯三元組：畢氏定理的 整數解 3. 費瑪 Fe rmat 在研究 丟番圖 Dio phantus 的「算數」第2卷的問題8時，在頁 邊寫下了註記 「不可能將一個立方 數寫成兩個立方數之和；或者將一個四次冪 寫成兩個四次冪 之和；或者，總的來說，不可 能將一個高於2次 冪，寫成兩個同樣次冪的和。」 「對這個命題我有一 個十分美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。」 4. 1670年，費瑪 Fermat 的兒子出版了載有Ferma t註記的「丟番圖的算數」 5. 在Fermat的其他註記中，隱含了對 n=4 的證明 =& gt; n =8, 12, 16, 20 ... 時無解 萊昂 哈德‧歐拉 Leonhard Eule r 證明了 n=3 時無解 => n=6, 9, 12, 15 ... 時無解 3是質數 ，現在只要證明 費瑪最後定理對於 所有的質數都成立 但 歐基 裏德 證明「存在無窮多 個質數」 6. 1776年 索菲‧熱爾曼 針對 (2p+1)的質數，證明了 費瑪最後定理 "大概 " 無解 7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克 雷 和 阿得利昂 -瑪利埃‧勒讓德 延伸熱爾曼的證 明，證明了 n=5 無解 8. 1839年 加布裏爾‧拉梅 Gabriel La me 證明了 n=7 無 解 9. 1847年 拉梅 與 奧古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同時宣稱已 經證明了 費瑪最後定 理 最後是劉維爾宣讀了 恩斯特‧庫默爾 Ernst Kummer 的信，說科西與拉梅的證明 ，都因爲「虛數 沒有唯一因子分解性質 」而失敗 庫 默爾證明了 費 瑪最後定理的完整證明 是當時 數學方法 不可能實現的 10. 1908年 保羅‧沃爾夫斯凱爾 Pau l Wolfskehl 補救了 庫默爾的證明 這表示 費瑪最後定理的完整證明 尚未被解決 沃爾夫斯凱爾提供了 10萬馬克 給提供證明的人，期限是到2007年9月13日止 11 .1900年8 月8日 大衛‧希爾伯特 ，提出數學上23個未解決的問題且相信這是迫切需 要解決的重要問題 1 2.1931年 庫特‧哥德爾 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集合 論是相容的，那麽存在既不能證明又 不能否定的定理 。 => 完全性是不可能達 到的 第二不可判定性定理 ：不存在能證明公理系統是相容的構造性過程。 => 相 容性永遠 不可能證明 13.1963年 保羅‧科恩 Paul Cohen 發展了可以檢驗給定問題 是不是不可判定的方法（只適用少數情形） 證明希爾伯特23個問題中， 其中一個「連續統假設」問題是不可判 定的，這對於費瑪最後 定理來說是一大打擊 1 4.1940年 阿倫‧圖靈 Alan Turing 發明破譯 Enigma 編碼 的反轉機 開始有人利用暴 力解決方法，要對 費瑪最後定理 的n值一個一個加以 證明。 15 .1988年 內奧姆‧埃爾基斯 Nao m Elkies 對於 Euler 提出的 x4+ y4+z4=w4 不存 在解這個推想，找到了一個 反例 26824404+15365639 4+1879604 =206156734 16.1975年 安德 魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 師承 約翰 ‧科次，研究橢 圓曲線 研究橢圓曲線的目的是要算出 他們的整數解，這跟費瑪 最後定理一樣 ex: y2=x3-2 只有一組整數 解 52=33-2 (費瑪證明宇宙中 指存在一個數26，他 是夾在一個平方數與一 個立方數中間) 由於 要直接找出橢圓曲線是很困難的，爲了 簡化問題，數學家採用「時鐘運算」 方法 在五格時鐘運算 中， 4+2=1 橢圓方程式 x3-x2=y2+y 所有可能的 解爲 (x, y )=(0, 0) (0, 4) ( 1, 0) (1, 4) ，然後可用 E5=4 來代表 在五格時鐘運算中，有 四個解 對於橢圓曲線，可寫出一個 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17 .1954年 至村五郎 與 谷山豐 研究具 有非同尋常的對稱性的 mod ular form 模型 式 模 型式的要素可從1開始標 號到無窮（M1, M2, M3, ...） 每個模型式的 M序列 要素個數 可寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的範例 1955年 9月 提出模型式 的 M序列 可以 對應到橢 圓曲線的 E序列，兩個 不同領域的理論突然被連接在一起 安德列‧韋 依 採納這個想法，「谷山-志村猜想」 18.朗蘭茲提出「朗蘭 茲綱領」的計畫，一個統一 化猜想的理論，並開始尋找 統一的環鏈 19.1984年 格哈德‧ 弗賴 Gerhard Frey 提出 (1) 假 設費瑪最後定理 是錯的，則 xn+yn=zn 有整數解 ，則可將方程式轉換爲y2=x3+(AN-BN)x 2-AN BN 這樣的 橢圓方程式 (2) 弗賴橢圓方程式太古怪了，以致於無法被模型式化 (3) 谷山 -志村猜 想 斷言每一個橢圓方程式都 可以被模型式化 (4) 谷山-志村猜想 是錯誤的 反過來說 (1) 如果 谷山-志 村猜想 是對的，每一個橢 圓方程式都可以被模型式化 (2) 每 一個橢圓方程式都可以被模型式化，則不存在弗賴 橢圓方程式 (3) 如果不存在弗賴橢圓方程式 ，那麽xn+y n=zn 沒有整數解 (4) 費瑪最後定理是對的 20.1986 年 肯‧貝裏特 證 明 弗賴橢圓方程式無法被模型式化 如果有人能夠證明谷山-志村猜想，就表示費瑪最後定理也是正確的 21.1986年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 開始一個 小陰謀，他每 隔6個月發表一篇小論文，然後自己獨力嘗 試證明谷山-志村猜想，策略是利用歸納法，加上 埃瓦裏斯特‧ 伽羅瓦 的群論，希望能將E序列以「自然次 序」一一對 應到M序列 22.1988年 宮岡洋一 發表利用微分幾何學證明谷山-志村猜想，但結 果失敗 23.1989年 安德魯‧懷爾斯 A ndrew Wiles 已經將橢圓方程式拆 解成無限多項，然後也證明了第一項必定是 模型式的第一項，也 嘗試利用 依娃沙娃 Iwasaw a 理論，但 結果失敗 24.1992年 修改 科利瓦金-弗萊契 方法，對 所有分類後的橢圓方程式都 奏效 25.1993年 尋求同事 尼克‧凱茲 Nick Katz 的協助，開始對 驗證證明 26.199 3年5月 「L- 函數和算術」會議，安 德魯‧懷爾斯 A ndrew Wiles 發表谷山-志村猜想的證明 27.1993 年9月 尼克 ‧凱茲 Nick Katz 發現一個重大缺陷 安德魯 ‧懷爾斯 Andrew Wiles 又開始隱居 ，嘗試獨力解決缺陷，他不希望在這時候公布證明，讓 其他人分享完成證明 的甜美果實 28.安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 在接近放棄的邊緣，在彼得‧薩納克的建 議下，找到理查德‧泰勒的協助 2 9.1994年9月19日 發現結合 依娃沙娃 Iwasawa 理 論與 科利瓦金-弗萊契 方法就 能夠完全解決問題< br/> 30.「谷山 -志村猜想」被證 明了，故得證「費瑪最後定理」 ii 費馬大定 理 300多年以前， 法國數學家費 馬在一本書的空白處寫 下了一個定理：“設n 是大于2的正整數，則不定方程 xn+yn=zn沒有非零整數解”。 費馬宣稱他發現了這個定理的一個真正奇妙 的證明，但因 書上空白太小，他寫不下他的證明。3 00多年過去了，不知有 多少專業數學家和業余 數學愛好者絞盡 腦汁企圖證明它 ，但不是無功而返就是進展甚微。這就是純數學中 最著名的定理—費馬大定理。 費馬(1601年～1665年)是一位具有傳奇 色彩的數學家，他最初學習法律並以當律師謀生 ，後來成爲議會議 員，數學只不過是他的業余愛好，只 能利用閑暇來研究 。雖然年近30才認 真注意數學，但費馬對數論和微積分做出了第一流的貢獻。他與笛卡兒幾乎同 時創立了解析幾何，同時又是17世紀興起的概率 論的探索者之一。費 馬特別愛 好數論，提出了許多定理，但費馬只對其中一個定理給出了證明要點，其他 定理除一個被證明是錯的，一個未被證明 外，其余的陸續被後來的數學家所證實 。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費馬 大定理，因 爲是最後一個未被證明對或錯的定理，所以又稱爲費馬最後定理。 費馬大定 理雖然至今仍沒有完全被 證明，但已經有了很大進展，特別是最近幾十年，進展更快。1976 年瓦格斯塔夫證明 了對小于105的素數費馬大定理都成立 。1983年一位年輕的德 國數學家法爾廷斯證明了 不定方程xn+yn=zn只能 有有限多組解，他的突出貢獻使他在1986年獲得了數學界的最高獎之一費爾茲獎。199 3年英國數學家威爾斯宣布證明了費馬大定理，但隨 後發現了證明中的一 個漏洞並作了修正。雖然威爾斯 證明費馬大定理還沒 有得到數學界的一致公認，但大多數數學家認爲他 證明的思路是正確的。毫無疑問，這 使人們看到了希望。 爲了尋求費馬大定理的 解答，三個多世紀以來，一代又一代的數學 家們前赴後繼，卻壯志未酬。1995年 ，美國普林斯頓大學的安德魯·懷爾斯教授經過8年的孤軍奮戰，用1 3 0頁長的篇幅證明 了費馬大定理。懷爾斯成爲整個數學界的英雄。 費馬大定理 提出的問題非常簡單，它是用一個每個中學生都熟悉的數學定理——畢達 哥拉斯定理——來 表達的。2000多年前 誕生的畢達哥拉斯定理說：在一個直角三角形中， 斜邊的平方等于兩直角邊的平方之 和。即X2＋Y2=Z2。大約在公 元1637年前後 ，當費馬在 研究畢達哥拉斯方程時，他寫下一個方程，非常類似于畢達哥拉斯方程： Xn＋Yn=Zn,當n 大于2時，這個方程沒有任何整 數解。費馬在《算術》這本書的靠近問題8的頁 邊處記下這 個結論的同時又寫下一個附加的評注：“對此，我確信 已發現一個美妙的證法，這 裏的空 白太小，寫 不下。”這就是 數學史上著名的費馬大定 理或稱費馬最後的定理。費馬制 造了 一個數學 史上最深奧的謎。 大問題 在物理學、化學或生物學中，還沒有任何問題可以敘述得如此簡單和清晰，卻長久不 解。E·T·貝爾(Eri c Temple Bell)在他的《大問題》(The Last Problem)一書 中寫到， 文明 世界也許在費馬大定理得以解決之前 就已走到了盡頭 。證明費馬大定理 成爲數論中最 值 得爲之奮鬥的事。 安 德魯·懷爾斯195 3年出生在英國劍橋，父親是一位工程學教授。少年時代的懷爾斯 已著迷于數學 了。他在後來的回憶中寫到：“在學校裏我喜歡做題目 ，我把它 們帶回家， 編寫成我自己的新題目。不過我以前找到的最好的題目是在我們社區的圖書館裏發現的。 ”一天，小懷爾斯在彌爾頓 街上的圖書館看見了一本 書，這本書只有一個問 題而沒有解答 ,懷爾斯被 吸引住了。 這 就是E·T ·貝爾寫的《大問題》。它 敘述了費馬大定理的曆史 ，這個定理讓一 個又 一個的數學家望而生畏，在長達300多年的時 間裏沒有人能解決它。懷爾斯30多年後回憶< br/> 起被 引向費馬大定理時 的感覺：“它看上 去如此簡單，但曆史上所有的大數學家都 未能解 決它。這裏正擺著我——一個10歲的孩子——能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永 遠不會放棄它。我必須解 決它。” 懷爾斯1974年從牛津大學的Merton學院 獲得數學學士 學位，之後進入劍橋大學Clare 學院做博 士。在研究生階段 ，懷爾斯並沒 有從事費馬大定理研究。他說：“研究費 馬可能 帶來的問 題是：你花費了多年的 時間而最終一事無成。我 的導師約翰·科茨(John Coat e s)正 在研究橢 圓曲線的I wasa wa理論，我開始跟隨他工作。” 科茨說：“我記得一位同 事 告訴我，他有一 個非常好的、剛完成數學 學士榮譽學位第三部考試的 學生，他催促我收其 爲學生。我非常榮幸有安德魯這樣的學生。即使從對研究生的要求來 看，他也有很深 刻的 思想，非常清楚他將 是一個做大事情的數學家 。當然，任何研究生在 那個階段直接開始研 究費馬大 定理是不可能的，即使對資 曆很深的數學家來說，它也太困難了。”科茨的責任 是爲懷爾斯找到某種至 少能使他在今後三年裏有興趣去研究的問題。他 說：“我認爲研究 生導師能爲學生做的一切就是設法把他推向一個富有成果的方向。當然，不能 保證它一定 是一個富有成果的研究方向，但 是也許年長的數學家在這個過程中能做的一件事是使用他 的 常識、他對好領域的直覺。然後，學生能在這個方 向上有多大成績就是他自 己的事了。 ” 科茨決 定懷爾斯應該研究數學中稱爲橢 圓曲線的 領域。這個決定成爲懷爾斯職業生涯中的 一 個轉折點 ，橢圓方 程的研究 是他實現夢想的工具。< br/> 孤獨的戰士 1980年懷 爾斯在劍橋大學取得博士學位後來到了美國普林斯頓大學，並成爲這所大學 的教 授。在科茨 的指導下，懷爾斯或許比世界上其他人 都更懂得橢圓方程， 他已經成爲一 個著名的數論 學家，但他清楚地意識到，即使 以他廣博的基礎知識和數學 修養，證明費馬 大定理的任務 也是極爲艱 巨的。 在懷爾斯的 費馬大定理的證 明中，核 心是證明“谷山－志 村猜想”，該猜想 在兩個非 常不同的數學領域間建立了一座新的橋梁。“那是1986年夏末的一個傍晚，我正在一個朋 友家中啜飲冰茶。談話間他隨意告訴我，肯 ·裏貝特已經證明了谷山－志村猜想與 費馬大 定理間的聯系。我感到極大的震動。我記得那個時刻，那個改變我生命曆程的時刻，因爲 這意味著爲了證明費馬大定理，我必 須做的一切 就是證明谷山－志村猜想……我十 分清楚 我應該回家去研究谷山－志村猜想。”懷爾斯望見了一條實現他童年夢 想的道路。 20世紀初，有人問偉大的數 學家大衛·希爾伯特 爲什麽不去 嘗試證明費馬大定理， 他 回答 說：“在開始著手之前 ，我必須用3年的時間作深 入的研究，而我沒有那麽多的時間 浪費在一件可能會失敗的事情上。”懷 爾斯知道，爲了找到證明，他必須全身心地投入到 這個問題中，但是與 希爾伯特不一樣，他願意冒這個風險。 懷爾斯作了一個重大 的決定：要完全獨立和保 密地進行研究。他說：“我意識到與費 馬大定理有關的任何事情 都會引起太多人的興趣。你確實不可能很多年都使自己 精力集中 ，除非你的專心不被他人分散，而這一 點會因旁觀者太多而 做不到。”懷爾斯放棄 了所有 與證明費馬大定 理無直接關系的工作， 任何時候只要可能他就回到家裏工作，在家裏的頂 樓書房裏他開始了通過谷山－志村猜想來證明費馬大定理的戰鬥。 這 是一場長達7年的持久戰， 這期間只有他的妻子知道他在證明費馬大定理。 歡呼與 等待 經過7年的 努力，懷爾斯完成了谷山－志村猜想的證明。作爲一個結果，他也證明了 費馬大定理。現在是向世界公布的時候了。1993 年6月底，有一 個重要的會議要 在劍橋大 學的牛頓研究所舉行 。懷爾斯決定利 用這個機會向一群傑出的聽衆宣布他的工作。 他選擇 在牛頓研究所宣布的另外 一個主要原因是 劍橋是他的家鄉，他曾經是那裏的一名研究生。 1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀最重要的一次數學 講座。兩百名數學家聆 聽了這一演講，但他 們之中只有四分之一的人完 全懂得黑板上的希臘字母和代數 式所表達 的 意思。其余的人來這裏是爲了見證他們所期待的一個真正具有意義的時刻。演講者是安 德魯·懷 爾斯。懷爾斯回憶起 演講最後時刻的情景 ：“雖然新 聞界已經刮起有關演講的風 聲，很幸運他們沒有來聽 演講。但 是聽衆中 有人拍攝了演講結束時的鏡頭，研究所所長肯 定 事先就准備 了一瓶香槟酒。當我宣讀證明時，會場上保持著特 別莊重的寂靜，當 我寫完 費馬大定理的證明 時，我說： ‘我想我就在這裏結束’，會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲 。” 《紐約時報》在頭版以《終于歡呼“我發現了 !”，久遠的數學 之謎獲解》爲題報道 費 馬大定理被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成爲世界上最著名的數學家，也是唯一的數 學家。《 人物》雜志將 懷爾斯與戴安娜王妃 一起列爲“ 本年度25位最具魅力者”。最有創 意的贊美 來自一家國際制衣大公司， 他們邀請這位溫文爾雅的天才作他們新系列男裝的模 特 。 當懷爾斯 成爲媒體 報道的中心時，認真核對這個證明的 工作也在進行。 科學的程序要 求任何數學家將 完整的手稿送交一個有聲望的刊物，然後這個刊物的編輯將它送 交一組審 稿人，審稿人的職責是 進行逐行的審查證明 。懷爾斯將手稿 投到《數 學發明》 ，整整一個 夏天他焦 急地等待審稿人的意見，並祈求能得到他們的祝福。可是，證明的 一個缺陷被發 現了。 我的心靈歸于平 靜 由于懷爾斯的論 文涉及到大量的數學方法，編輯巴裏·梅休爾決定不像通常那樣指 定 2－3 個審稿人，而是6個審稿人。200頁 的證明被分成6章， 每位審稿人 負責其中一章。 懷爾斯在此期間中斷了他的 工作，以處理審稿 人在電子郵件中提出的問題，他 自信這 些問題不會給他造成很 大的麻煩。尼克·凱茲負 責審查第3章，199 3年8月23日，他發 現了 證明 中的一個小缺陷。數學的絕對主義要求懷爾斯 無可懷疑地證明他的方法中的每一步都 行得通。懷爾斯以爲 這又是一個小問題，補救的辦法可能就在近旁，可是6個多 月過去了 ，錯誤 仍未改正，懷爾斯面 臨絕境，他准 備承認失 敗。他向 同事彼得·薩克 說明自己的情 況，薩克向他暗示困難的一部分在于他 缺少一個能夠和他討論問題並且可信賴的人。經過 長時間的考慮後，懷爾斯決定邀請劍橋大學的講師理查德·泰勒到 普林斯頓和他一起工 作 。 泰勒19 94年1月份到普林斯頓，可是到了9 月，依然 沒有結果，他們准備放棄了 。泰勒 鼓勵他們再堅持一個月。懷爾斯決定在9月底作最後一次檢查。9月19 日，一個星期一的 早 晨，懷爾斯 發現了問題的答案，他敘述 了這一時刻：“ 突然間，不可思議地，我 有了一個 難以置信的發現。這是我的事業中最重要的時刻，我不會再有這樣的經曆……它的 美是如 此地難以形容；它又是如此簡 單和優美。20多分鍾的時 間我呆望它不敢相信。然後白天我 到系裏轉了一圈， 又回到桌子旁看看它是 否還在——它還在那裏。” 這是少年時代的夢想和8 年潛心努力的終極 ，懷爾斯終于向世界證明了 他的才能。 世 界不再懷疑這一次的證明了。這兩篇論 文總共有13 0頁，是曆史上核查 得最徹底的數學稿 件，它們 發表在1995年 5月的《數學年刊》上。懷爾斯再一次出現在《紐約時報》的頭版 上，標題是《 數學家稱經典之謎已解決》 。約翰·科茨說：“用數學的術語來說，這 個最 終 的證明可與分裂原子或發現DNA的結構相比，對費馬大定理的證明是人類智力活動的一 曲凱 歌，同時，不能忽視的 事實是它一下子就使數 學發生了革命性 的變化。對我說來，安 德魯成果的美和魅力在于它是走向 代數數論的巨大的一步。 ” 聲望和榮譽紛至沓來。1995年，懷爾斯獲得瑞典皇家 學會頒發的Sch ock數學獎，199 6年 ，他獲得沃爾夫獎，並當選爲美國科學院外籍院士。 懷爾斯說：“… …再沒有別的問題能像費馬大定 理一樣對我有同樣的意義 。我擁有如 此少有的特權，在我的 成年時期實現我童年的夢想……那段特 殊漫長的探索已經結束了 ， 我的心已歸于平靜。” 費馬大定理只有在相對數學理論的建立之後，才會得 到最滿意的 答案。相對數學理論沒有完成之前，談這 個問題是無力地.因爲人們 對數量和自身的認識，還沒有達到一 定的高度. iii 費馬大定理與懷爾斯 的因果律-美國公衆廣播網對懷爾斯的專訪 358年的難解之謎 數學愛 好者費馬提出的這個問題非常簡單，它用一個每個中 學生都熟悉的數學定理——畢達哥拉斯定理來表達。2000多年前誕生的畢達哥拉斯定理說：在一個直角三 角形中，斜邊的平方 等于兩個直角邊的 平方之和。即X2+Y2 =Z2。大約在公元 1637年前後 ，當費馬在研究畢達 哥拉斯方程時 ，他在《算術》這本書靠近問題8的頁邊處寫下了 這段文字：“ 設n是大于2的正整數 ，則不定方程xn+y n=zn 沒有非整數解，對此， 我確信已發現一個美妙的證法，但這裏的空白太 小，寫不 下。”費馬習慣在頁邊寫下猜想，費馬大定理是其中困擾數學家們時間最長的，所以被稱爲Fermat’s Last Theorem（費馬最 後的定理）——公認爲有史以來最著名的數學猜想 。 在暢銷書作 家西蒙·辛格（ Simon Singh） 的筆下，這段神秘留言引發的長達358年的獵逐充滿了驚險、懸疑、絕望和狂喜。 這段曆史先後涉及 到最多産的數學 大師歐拉、最偉大的數學家高斯、由業余 轉爲職業數 學家的柯西、 英年早逝的 天才伽羅瓦、理 論兼試驗大師庫默爾和被譽爲“法國曆史上知識最爲高深的女性”的蘇菲·姬爾曼……法國 數學天才伽羅瓦的遺言、日本數學界的明日之星谷山豐的神秘自殺、德國數學愛 好者保羅 ·沃爾夫斯凱爾最後一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥間上帝導演 的宏大戲劇中的 一幕，爲最後 謎底的解開埋下伏筆。終于，普林斯頓 的懷爾斯出現了 。他找到謎底，把這出戲推向高潮並戛然而止，留 下一段耐人回味的傳奇。 對懷爾斯而言，證明費馬大定理不僅是破譯一個難解之謎，更 是去實現一個兒時的夢想。“我10歲時在圖書館找到一本數學書，告訴我有這麽一個問題，300多年前就已經有人解決了它，但卻沒有人 看到過它的證明，也無人確信是否有這個證明，從那以後，人們就不斷地 求證。這是一個10歲小孩就能明 白的問題，然 後曆史上諸多偉大的數學家們卻不能解答。于是從那時起，我 就試過解決它， 這個問題就是費馬大定理。 ” 懷爾斯于1970年先 後在牛津大學 和劍橋大學獲得 數學學士和數學博士 學位。“我進入劍橋時， 我真正把費馬大定理擱在一邊了。這不是因爲我忘了它，而是我認識到我們所 掌握的用來攻克它 的全部技術已經反複使用了130年。而這些技術 似乎沒有觸及問題根本。” 因爲擔心耗費太多時間而一無所獲，他“暫時放下了”對費馬大定理的思索，開始研究橢圓曲線理論——這個 看似與證明費馬大定理不相關的理論後來卻成爲他實現夢想的工具。 時間回溯至20世紀60年代，普 林斯頓數學家朗蘭茲 提出了一個大膽的 猜想：所有主要數學 領域之間原本就存在著的統一的鏈接。如果這個猜想被證實，意味著 在某個數學領域中無法解答的任何問題都有 可能通過這種鏈接被轉換成 另一個領域中相應的問題——可以被一整套新方案解 決的問題。而如果在另一個領域內仍然難以找到答案，那麽可 以把問題再轉換到下一個數學領域中… …直到它被解決爲止。根據朗蘭茲綱領，有一 天，數學家們將能夠解決曾經是最深奧最難對付的問題——“辦法是領著這些問題周 遊數學王國的各個風景勝地 ”。這個綱領爲飽受哥德爾不 完備定理打擊的費馬 大定理證明者們指明了救贖之 路——根據不完備定理， 費馬大定理是不可證明的。 懷爾斯後來正是依賴于這個綱領才得以 證明費馬大定理 的：他的證明 ——不同于任何前人的嘗試——是現代 數學諸多分支（橢圓曲線論，模形式理論，伽羅華 表示理論等等) 綜合發揮作 用的結果。20世紀50年代 由兩位日本數學家（谷山豐和 志村五郎 ）提出的谷山—志 村猜想（Taniyama-Sh imura conjecture）暗示：橢圓方程與模形式 兩個截然不同的數學島嶼間隱藏著 一座溝通的橋梁。隨後在1984年，德 國數學家格哈德·費賴（Gerhard Fre y）給出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成立，則費馬大定理爲真。這個猜想緊接著 在1986年被 肯·裏貝特（Ken Ribet）證明。從此，費馬大 定理不可擺脫 地與谷山—志 村猜想鏈接在一起 ：如果有人能證明谷 山—志村猜想（ 即“每一個橢圓方程都 可以模形式化” ），那麽就證明了費馬大定理。 “人類智力活動的一曲 凱歌” 懷 爾斯詭秘的 行蹤讓普林斯頓的著名數學家 同事們困惑。彼得 ·薩奈克（Pet er Sarnak）回憶說：“ 我常 常奇怪懷爾斯在做些什麽？……他總是靜悄悄的，也許他已經‘黔 驢技窮’了。”尼 克·凱茲則感歎 到：“一點暗示都沒有！”對于這次驚天“大預謀”，肯·裏比特 （Ken R ibet)曾評價說：“這可能是我平生來見過的唯 一例子，在如此長的時間裏沒有泄露任何有關 工作的信息。這是空前的。 19 93年晚春 ，在經過反複的試 錯和絞盡腦汁的 演算，懷 爾斯終于完成了谷山—志村猜想的證明。作爲一個結果，他也證明了 費馬大定理。彼得·薩奈克是最早得知此消 息的人之一，“我目瞪口呆、異常 激動、情緒失常 ……我記得當晚我失眠了”。 同年6月，懷爾斯決定在劍橋大學的大型系列講座上宣布這一證明。 “講座氣氛很熱烈，有很多數學界重要人物到場 ，當大家終于明白已經離證明費馬大定理一步 之遙時，空氣中 充滿了緊張。 ” 肯· 裏比特回憶說 。巴裏· 馬佐爾（Barry Mazur）永遠 也忘不了那一刻：“我之前從未看 到過如此精彩的講 座，充滿了美妙的 、聞所未聞的新思想，還有 戲劇性的鋪墊 ，充滿懸念，直到最後到達高潮。”當懷爾斯在講座 結尾宣布他證明了 費馬大定理時，他成了全世界媒體的焦 點。《紐約時報》在 頭版以《終于歡呼“我發 現了!”久遠的數學之謎獲解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Ol d Math Mys tery”）爲題報道 費馬大定理被證明的消息 。一夜之間，懷爾斯成爲世界上唯一的數 學家。《 人物》雜志將懷爾斯與 戴安娜王妃 一起列爲“本年度25位最具魅力者”。 與此同時，認真核對這個證明的工 作也在進行。遺憾的是，如同這之前的 “費馬大定理終結者”一 樣，他的證明是有缺陷的。懷爾斯現在不得不在巨大的壓力之下修正錯誤，其間數度 感到絕望。John Conway曾 在美國公衆 廣播網（PBS）的 訪談中說: “當時我們其他人 （懷爾斯的同事）的行爲有點像 ‘蘇聯政體研究者’，都想知道他的想法和修正錯誤 的進展，但沒有人開口問他 。所以，某人會說，‘我今天早上 看到懷爾斯了。’‘他露出 笑容了嗎？’‘ 他倒是有微笑，但看起 來並不高興。’” 撐到1994年9月時，懷爾斯准備放棄了 。但他臨時邀請的研 究搭檔泰勒鼓勵他再堅持一 個月。就在截止日到來之前兩周， 9月19日 ，一個星期一的早晨，懷爾斯發現了問題的答案，他敘述了這一時刻：“突然間，不可思議地，我發現了它……它美得難以形容， 簡單而優雅。我對著它發了20多分鍾呆。然後我到系裏轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在那裏——它確實還在那裏。” 懷爾斯的證明爲他贏得了最慷慨的褒 揚，其中最具代表性的是他在劍橋時的導師、著名數學家約翰·科茨的評價：“它（證明）是人類智力活動的一曲 凱歌”。 一場曠日持久的 獵逐就此結束，從此費馬大定理與安德魯·懷爾斯 的名字緊緊地被綁在了一起 ，提到一 個就不得不提到另 外一個。這是費馬大定理與安德魯·懷爾斯的因果律。 曆時八年的最終證明 在懷爾斯不多的接 受媒體采訪中，美國公衆 廣播網（PBS） NOVA節目對懷 爾斯的專訪相當精彩有趣，本文 節選部分以 飨讀者。 七年孤獨 NOVA：通常人們通過團隊來獲得工作上的支持，那麽當你碰壁時 是怎麽解決問題的呢？ 懷爾斯：當我被卡住時我會沿著 湖邊散散步，散步的好處是使你會處于放松狀 態，同時你的潛意識卻在繼續工作。通常 遇到困擾時你並不需要書桌 ，而且我隨時把筆紙帶上，一旦有好主意 我會找個長椅坐下來打草稿…… NOVA： 這七年一定交 織著自我懷疑與成功…… 你不可能絕對有把握證明 。 懷爾斯：我確實相信自己在正確的軌道上，但 那並不意味 著我一定能達到目 標——也許 僅僅因爲 解決難題的 方法超出現 有的數學，也許 我需要的方法 下個世紀也不會出現 。所以即便我在正 確的軌道上，我卻可能生活 在錯誤的世紀。 NOVA：最終在1993年 ，你取得了突破。 懷爾斯：對，那是個5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子們出去了。我 坐在書桌前思考最後的步驟 ，不經意間 看到了一篇論文，上面的一行字引起了我的注意。它提到了一個19世紀的數學結構，我霎時意識到這就是我該用的。我不停地工作，忘記下樓午飯，到下午 三四點時我確信已經證明了費馬 大定理，然後下樓。Nada很吃驚， 以爲我這時才回家，我告 訴她，我解決了費馬大 定理。 最後的修正 NOVA：《紐約時報》在頭版以《終于歡呼“我發現了!” ，久遠的數學 之謎獲解》，但他們並不知道這 個證明中有個錯誤。 懷爾斯：那是個存在于關鍵推導中的錯誤，但它如此微 妙以至于我忽略了。它很抽 象，我無法用簡 單的語言描述，就算是數學家也需要研習兩三個月才能弄懂。 N OVA：後來你邀請劍橋的數學家理查德 ·泰勒來協助工作，並在1994年修正了這個最後的錯誤。問題是，你的證明和費馬的證 明是同一 個嗎？ 懷爾斯：不可能。這 個證明有150頁長，用的 是20世紀的方法，在費馬時代還不存在。 NOVA： 那就是說費馬的最初證明還在某個未被發現 的角落？ 懷爾斯：我不相信 他有證明。我覺得他說 已經找到解答了是在哄自己 。這個難題對業余愛好者如此特別 在于它可能被17世紀的數學證明，盡管可能性極其微小 。 NOV A：所以也許還有數 學家追尋這最初的證明。 你該怎麽辦呢？ 懷 爾斯：對我來說都一樣，費馬 是我童年的熱望。我會再試其他問題… …證明了它我有一絲傷感，它已經和我們一起這麽久了……人 們對我說“你把我的問題奪走 了”，我能帶給他 們其他的東西嗎？我感覺到有責任。 我希望通過解決這個問題帶來的興奮可以激勵青年數學家們解決其他許許多多的難題。 iv 谷山- 志村定理(Taniyama-Shimura t heorem)建立了橢圓曲線(代數幾何的對象)和模形式(某種數 論中用到 的周期性全純函數)之間的重要聯系。雖 然名字是從谷山-志村猜想而來, 定理的證明是由安德魯 ·懷爾斯, Christophe Breuil, Bria n Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一個質數而 E是一個Q(有 理數域)上的一個橢圓曲線 ，我們可以簡化定義E的 方程模p;除了有限個p值，我們 會得到有np個元 素的有限域Fp上的一個橢圓曲線。然後考慮 如下序列 ap = np − p, 這 是橢圓曲線E的重要的不變量。從傅裏葉變換 ，每個模形式也會産生一個 數列。一個其序列和從模形式得到的序 列相同的橢圓曲線叫做模的。 谷山-志村定說: " ;所有Q上的橢圓曲線是模 的"。 該定理在1955年 9月由谷山豐提出猜想。到1957年 爲止，他和志 村五郎一起改進了嚴格性。谷山于1958年自殺身亡。在1960年代，它和統一數學中 的猜想Langla nds綱領聯系了起來，並是關鍵的組成部 分。猜想由Andr é Wei l于1970年代重新提起並得到推廣，Weil的名字有一 段時間和它聯 系在一起。盡管有明顯的 用處，這個問題的深度 在後來的發展之 前並未被人們 所感覺到。 在1980年代當Gerhard Freay建議谷山- 志村猜想( 那時還是猜想)蘊含著費馬最後定理的時候，它吸引到了 不少注意力。他通過試圖表明費爾馬大定理的任何範 例會導致一個非模的橢圓曲線來做到這一點。Ke n Ribet後 來證明了這一結果。在1 995年，Andrew Wiles和R ichard Taylor證明了 谷山-志村定理的一個特殊情況(半穩定橢圓曲線的情況 )，這個特殊情況 足以證明費爾馬大定理。 完 整的證明最後于19 99年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他們在Wiles的基礎上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部完成。 數論中類似于費爾馬最後定理得幾 個定理可以從谷山-志村定理得到。例如 :沒有立方可以寫成兩個互質n次冪的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已爲歐拉所知) 在1996年三月 ，Wiles和 Robert Langla nds分享了沃爾夫獎。雖然他們都沒有完 成給予他們這個成就的定理的完整形式，他們還是被認 爲對最終完成的證 明有著決定性影響。 想到那个神 出鬼没的东西，印颜的心又剧烈跳动起来，“本来，昌长老感觉能按住那条大尾 巴，可是，不知怎的，它突然又 厉害起来 ，然后，那小冥兽，好像鬼魅一般 ，借着地利，连着抹了西 才他们的脖子，昌长老没办法，才完全放 开了身体的封印。”
